Haben die meisten Mathematiker die meisten Themen in der Mathematik?

Sid Caroline 08/26/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Wie viele Themen außerhalb seiner Spezialisierung ist ein durchschnittlicher Mathematiker?

Zum Beispiel, weiß ein durchschnittlicher Gruppentheoretiker genug von partiellen Differentialgleichungen, um einen Test in einem Graduate-Level-PDE-Kurs zu bestehen?

Auch was sind die "must-know" Themen für jeden aufstrebenden Mathematiker? Warum?

Als Studentin sollte ich mich eher auf die Breite konzentrieren (die Wahl eines breiten Spektrums von Klassen, die relativ paarweise nicht verwandt sind, zB Gruppentheorie und PDEs) oder Tiefe (zB Messen von Theorie und Funktionsanalyse)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Nur so weißt du, gruppentheorie is bei der Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen verwendet, meist um irgendwelche Symmetrien auszunutzen, die eine PDE haben könnte.
53 Cauchy 07/27/2017
Nein, ein durchschnittlicher Gruppentheoretiker bekommt einen fetten $ 0 $ in einem Absolvent Level PDE Kurs (er / sie might PDE irgendwann studiert haben, aber er / sie hat definitiv alles vergessen).
23 Cauchy 07/27/2017
Im Allgemeinen aber haben die meisten Mathematiker ein bisschen eine Exposition gegenüber einer Vielzahl von Themen, so dass, wenn sie ein bestimmtes Werkzeug von einem anderen Zweig benötigen, können sie (relativ) schnell das Material auffrischen und die relevante Literatur lesen.
1 owjburnham 07/27/2017
Ich vermute, dass dies länderspezifisch sein kann. Ich (in Großbritannien) musste niemals einen einzigen Test als Diplomstudent nehmen (Gott sei Dank).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, habe ich öfter gehört, dass von Poincaré gesagt wurde.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Ihre Frage ist eher philosophisch als mathematisch.

Ein Kollege von mir erzählte mir die folgende Metapher / Illustration einmal, als ich ein Junggesellenschüler war und er promovierte. Und seitdem sind einige Jahre vergangen.

Es ist schwer zu schreiben. Denken Sie daran, einen riesigen Kreis in die Luft zu ziehen, zu zoomen und dann wieder einen riesigen Kreis zu ziehen.

Das ist alles Wissen:

[--------------------------------------------] 

Alle Kenntnisse enthalten viel, und Mathe ist nur ein kleiner Teil darin - mit dem Kreuz markiert:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

Die mathematische Forschung gliedert sich in viele Themen. Algebra, Zahlentheorie und viele andere, aber auch numerische Mathematik. Das ist hier winzig:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Numerische Mathematik gliedert sich auch in mehrere Themen, wie ODE-Numerik, Optimierung etc. Und einer davon ist die FEM-Theorie für PDEs.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

Und das ist der Teil des Wissens, wo ich mich wohl fühle und sagte: "Ich kenne ein bisschen mehr als die meisten anderen Menschen in der Welt".
Jetzt nach einigen Jahren würde ich diese Abbildung noch einen Schritt verlängern: Mein Wissen in diesem Teil sieht eher aus

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Ich weiß nur noch "ein bisschen" darüber, das meiste davon weiß ich nicht, und das meiste, was ich gelernt habe, ist schon vergessen.

(Eigentlich ist die FEM-Theorie immer noch ein großes Thema, das zB verschiedene Arten von PDEs enthält [elliptische, parabolische, hyperbolische, andere]. So könntest du das "Zoomen" mehrmals mehr machen.)


Eine weitere kleine Weisheit ist: Jemand, der die Schule beendet hat, denkt, er weiß alles. Sobald er seinen Master-Abschluss gewonnen hat, weiß er, dass er nichts weiß. Und nach dem PhD weiß er, dass jeder um ihn herum nichts weiß.


Fragen Sie nach Ihrem Fokus: IMO verwenden Sie die ersten Jahre, um Themen in Mathe zu erkunden, um herauszufinden, was Ihnen gefällt. Dann gehen Sie tiefer - wenn Sie gefunden haben, was Sie mögen.

Gibt es "Themen"? Es gibt Grundlagen, die Sie in den ersten Begriffen lernen. Ohne sie ist es schwer zu "sprechen" und "tun" Mathe. Du wirst die Werkzeuge lernen, die du tiefer graben musst. Danach fühlen Sie sich frei, Mathe zu genießen :)
Wenn Ihr Forschungsschwerpunkt ist zum Beispiel auf PDE-Numerik (wie meins ist), aber Sie mögen auch reine Mathematik - gehen Sie vor und nehmen Sie einen Vortrag. Wird es dir helfen? Vielleicht, vielleicht nicht. Aber sicher hatten Sie Spaß, Wissen zu erlernen, und das zählt.

Denken Sie nicht zu viel darüber, was Vorträge zu besuchen. Alles wird alles gut werden. Ich denke, die meisten Mathematiker werden mit dieser Aussage einverstanden sein.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
Das ist ähnlich dem The Illustrated Guide to a Ph.D. .
10 Mars 07/30/2017
Für die Platte bin ich ein professioneller Philosoph (Ph.D. in Philosophie, Job als Professor, all das). Soo ... in meiner beruflichen Meinung ist diese Frage nicht philosophisch. Es ist empirisch. OP fragt nach empirischen Verallgemeinerungen über Mathematiker. P. Siehrs Vorschlag ist, dass die Frage ungenau angeführt wird oder auf falschen Annahmen beruht. Das macht nicht die Frage oder ihre möglichen Antworten philosophisch. (Ich bin nicht mit P. Siehr einverstanden, daß die Frage, wie gesagt, nicht beantwortet werden kann, und meine Bemerkungen sind nicht als Unterstützung für die Kommentare von amWhy gedacht.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Es ist anzumerken, dass "philosophisch" in einem mathematischen Kontext sich in der Regel nicht auf den Bereich der Philosophie bezieht, sondern auf fast jeden mathematisch relevanten oder inspirierten Gedanken außerhalb der rigorosen und formalen Mathematik. (Ich hoffe, dass Mathematiker das Wort erkennen!) Ich bin damit einverstanden, dass die Frage im eigentlichen Sinn des Wortes nicht philosophisch ist, aber ich denke, es ist philosophisch in dem Sinn, der von vielen Mathematikern angewandt wird.
Mars 08/09/2017
Ah, das ist interessant @JoonasIlmavirta. Vielen Dank.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

Die Antwort auf Ihre Frage ist einfach:
Nein, ein durchschnittlicher Mathematiker, der sich auf die algebraische Geometrie spezialisierte, konnte nicht without preparation eine Graduiertenstudienprüfung auf partielle Differentialgleichungen durchlaufen.
Warten Sie, es ist schlimmer als das: Er konnte nicht einmal eine Undergraduate Level Prüfung auf partielle Differentialgleichungen übergeben.
Warten Sie, es ist noch schlimmer: Er konnte keine Prüfung in algebraic geometry auf ein anderes Spezialthema von seinem eigenen übergeben. Zum Beispiel eine Grundprüfung zur Klassifikation von Singularitäten, wenn er sich auf Hilbert-Systeme spezialisiert hat.
Umgekehrt wäre ich sehr überrascht, wenn ein berüchtigter Analytiker, der vor kurzem eine Fields Medaille bekam, die Übungen in etwa 5 Kapitel von Fultons Algebraischen Kurven lösen konnte, die Standard-Einführung in die algebraische Geometrie.

Some remarks
1) Was ich schrieb, ist leicht zu privat zu bestätigen, aber unmöglich, in der Öffentlichkeit zu beweisen:
Ich kann nicht sehr gut schreiben, dass in einer kürzlichen Konversation XXX, ein respektierter probabilist, reichlich bewiesen, dass er keine Ahnung hatte, was die fundamentale Gruppe des Kreises ist.

2) Wenn der Autor YYY einen Artikel über partielle Differentialgleichungen unter Verwendung von Techniken aus einer aussetzbaren Gruppe schrieb, bedeutet dies nicht, dass andere Spezialisten in seinem Bereich eine Gruppentheorie kennen.
Es beweist nicht einmal, dass JJJ viel über die Gruppentheorie wusste: Er hat vielleicht erkannt, dass die Gruppentheorie in seine Forschung involviert war und einen Gruppentheoretiker befragt hatte, der ihm von zugänglichen Gruppen erzählt hätte.

3) Auf der hellen Seite scheinen einige sehr außergewöhnliche Mathematiker viel über fast jedes Thema in der Mathematik zu wissen: Atiyah, Deligne, Serre, Tao kommen in den Sinn.
Meine traurige Vermutung ist, dass ihre Zahl eine Funktion ist, die bei der Zeit auf Null geht.
Und obwohl ich konnte nicht ace eine Analyse-Prüfung, ich bin mir bewusst, was das bedeutet für eine $ \ mathbb N $ -Wert-Funktion ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Wir haben einige Leute in meiner Abteilung, die zumindest eine Vielzahl von Teilgebieten innerhalb einer breiten Disziplin kommentieren können. Mehrere Geometer kommen in den Sinn, die etwas Intelligentes über eine Vielzahl von Geometriebereichen haben. Vielleicht ist es nicht möglich, alles zu wissen Aber hoffentlich ist es noch möglich, eine Menge Dinge über eine Menge Dinge zu wissen. Ich denke, das ist wohl gut genug, denn jetzt gibt es so viele weitere Dinge zu wissen!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, Wenn du sagst: "Umgekehrt wäre ich sehr überrascht, wenn ein berüchtigter Analytiker, der vor kurzem eine Feldmedaille bekam, die Übungen in Kapitel 5 von Fultons Algebraischen Kurven lösen konnte, die Standard-Einführung in die algebraische Geometrie." Wie viel Zeit können sie jede Übung denken? Wenn wir ihnen genug Zeit geben, um das Buch zu lesen und zu üben, sicher genug für mich, würden sie sie lösen. Darf man das Buch nicht lesen und muss sie auf der Stelle lösen, in wieviel Zeit?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Sehr geehrte @Santropedro, natürlich, wenn dieser brillante Analytiker eine Woche oder zwei gegeben wurde, konnte er das Buch lesen und dann seine Übungen lösen. Der Punkt, den ich machen wollte, ist, dass er sie wahrscheinlich nicht mit dem lösen konnte, was er gerade kennt.
2 Michael Kay 07/28/2017
Vor einigen Jahren dachte ich, dass es amüsant wäre, ein GCSE Mathepapier (für 16-Jährige) zu versuchen, das meine Tochter nach Hause brachte. In diesem Alter hätte ich es ohne Schwierigkeiten durchgespielt Ich fand, dass ich eine einzige Frage nicht beantworten konnte, obwohl meine Arbeit in der Software-Technik eine regelmäßige Exposition gegenüber sehr vielen Mathematik beinhaltet.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: ja, das ist genau der Punkt. Das OP fragte nach Themen, denen ein Mathematiker vertraut war. Die Frage, ob er sich mit einem solchen Thema vertraut machen could und wie lange es dauern würde, ist ganz anders, und ganz korreliert mit dem Begriff, "brillant" zu sein.

MCS 07/29/2017.

Meine zwei Cent: Wenn du kein magisches Gehirn hast oder irgendeine Art von Epochen-Genie bist, dann wirst du wahrscheinlich feststellen, dass du nur zu jeder Zeit nur so viel Mathematik in deinem Kopf halten kannst. Also, aus praktischen Gründen - sowohl in Bezug auf das Schreiben einer Dissertation als auch in Bezug auf eine Karriere für sich selbst - sollten Sie wahrscheinlich an einem oder zwei eng verwandten Bereichen bleiben, damit Sie über ausreichende Sachkenntnis verfügen, um sich nützlich zu machen Forschungsinstitut oder was auch immer es ist, dass Sie mit Ihrer Zukunft zu tun haben möchten.

Davon gesagt, ich habe festgestellt, dass Ellenbogenfett und Geschick in Mathematik oft unbemerkt uncorrelated miteinander sind. Vielmehr ist die Fähigkeit oft mehr abhängig davon, wie viel Mathematik man seen . Zu diesem Zweck würde ich sagen, obwohl Sie definitiv einen Themenbereich oder zwei wählen sollten, um sich selbst zu nennen, sollten Sie sich bemühen, einen offenen Geist zu behalten und ein aktives Interesse an einer so breiten Vielzahl von mathematischen Disziplinen wie möglich zu halten.

Ich finde oft, dass das Lesen (auch wenn nur beiläufig) über Formen der Mathematik, die nicht mit meinen Forschungsgebieten in Verbindung stehen, eine Fülle neuer Ideen und Einsichten bietet. Je mehr Muster und Phänomene Sie kennen, desto besser ist die Chance, dass Sie etwas Interessantes auf Ihre Arbeit aufmerksam machen werden, und das könnte Ihnen eine Intuition geben, die Sie sonst nicht hätten. Zumindest wird es Ihnen helfen zu wissen, welche Themen oder Quellen (oder Mitarbeiter ...) nachschlagen, wenn Sie über etwas außerhalb Ihres Bereichs von größter Expertise stolpern.

Bearbeiten: Noch eine Sache. Linear algebra. Um Benedict Gross zu paraphrasieren, gibt es nicht so viel zu wissen, zu viel Lineare Algebra. Es ist everywhere freakin.


paul garrett 07/27/2017.

Es gibt natürlich eine schreckliche Zweideutigkeit in der Frage. Aber bei jeder Interpretation wäre die Antwort generell: "Nein, die meisten Praktizierenden eines Teils von X erinnern sich nicht an alle X ... weil sie nicht need ".

Wenn also nur, weil die Erinnerungen der seltsamsten Menschen mit der Zeit verblassen, wird es nur einen leichten Rückstand der Standard-Grundsachen im Kopf der Mathematiker geben, die seit einigen Jahren an einer bestimmten Art arbeiten. Abgesehen von der Lehre Kalkül, gibt es kaum need , um viel anderes zu erinnern. Ja, aus der Sicht der Stipendien, das ist potenziell beunruhigend, aber in der Tat, in fast allen professionellen mathematischen Situationen, gibt es wenig Motivation / Belohnung für echtes Stipendium. Es passiert irgendwie nicht in Gehaltssteigerungsformeln, Besitz oder vieles mehr. (Nicht, dass ich mich selbst kümmere, ob ich versuche, Dinge zu verstehen "für Lohn" oder nicht ...)

True, die meisten Graduate-Programme in den USA in Mathematik versuchen, eine gewisse Minimalkompetenz / Wertschätzung für einen großen Teil der Grundmathematik zu erzeugen, aber nach "Passing Qualifiers" scheint es, dass die überwiegende Mehrheit der Menschen nicht viel Interesse an der weiteren Verfolgung breiten finden Stipendium, entweder im Prinzip oder für mögliche direkte Vorteile.

Auch ich nehme die Frage mit dem (was ich denke, ist) einfaches Bild, dass "Spezialisierung" ist wie "Zoomen mit einem Mikroskop", und so weiter. Sicher, das ist eine verteidigungsfähige Weltanschauung und eine themenweise Weltanschauung, und sicherlich kann man durch die Handlungen eine accurate Beschreibung machen ... aber ich denke, es ist nicht genau von der Wirklichkeit. Genauer gesagt, sehe ich nicht die echten Ideen als fast so "lokalisiert" als "physisches Zoom-Mikroskop" wäre relevant-to. Das heißt, die Vorstellung, dass "Mathematik" in irgendeiner vernünftigen Weise als physisches Ding dargestellt werden kann, das alle Einheimischen mit sich bringt, die das impliziert, ich denke, ist sehr ungenau. Wieder ja, wir können es richtig machen, wenn nichts anderes durch Unwissenheit oder Unwissenheit. Aber...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

Die Frage, wie viele mathematische Themen ein durchschnittlicher Mathematiker kennt, hängt stark von zwei Definitionen ab:

  1. Thema
  2. Kennt

Natürlich hängt es auch von anderen Definitionen (wie Mathematiker) ab, aber in geringerem Maße.

Quantifizierter Ansatz, um diese Frage zu beantworten

Lassen Sie uns definieren Ebenen der Themen in der folgenden, loosly basiert auf wikipedia :

  1. Mathematik (1 Thema auf dieser Ebene)
  2. Reine Mathematik / Angewandte Mathematik (2 Themen auf dieser Ebene)
  3. Algebra, ..., Operations Research (13 Themen auf dieser Ebene)
  4. Abstrakte Algebra, Boolesche Algebra, ... (??? Themen auf dieser Ebene)

Jetzt, basierend auf persönlicher Erfahrung und einem Bild des durchschnittlichen Mathematikers, kann ich beantworten, wie sehr ein solcher Mathematiker dies wissen würde, für jede Ebene:

  1. Kann einen Abschlusskurs zu diesem Thema absolvieren
  2. Kann einen Abschlusskurs zu diesen Themen absolvieren
  3. Kann einen Abschlusskurs zu einigen dieser Themen absolvieren, einen Einführungskurs über die meisten dieser Themen vermitteln können
  4. Kann einen Abschlusskurs auf ein paar dieser Themen (vielleicht 5 ~ 15%)

Beachten Sie, dass, wenn Sie über Level 4 hinausgehen, Sie so spezifisch, dass Sie nicht finden komplette Absolventen Kurse zu einem solchen Thema. Also meine Schlussfolgerung:

Auf der Grundlage persönlicher Erfahrungen erwarte ich, dass ein durchschnittlicher Mathematiker anständige Kenntnisse zwischen 5% und 15% der Themen auf dem Niveau des Graduiertenkurses hat


Linas 07/29/2017.

Ich verbrachte mehrere Jahre auf einem Projekt, um die ersten 1-2 Kapitel von mindestens einem Mathebuch auf jedem Regal der Universitätsbibliothek zu lesen. Es war ein Versuch, eine unvoreingenommene Untersuchung der Mathematik zu gewinnen. Es war gut für mich, aber es war ein Luxus: Der gezwungene Marsch durch ein PhD-Programm und in die Akademie bietet wenig Zeit für ein solches Verhalten. Dennoch ist es wichtig: all die besten, berühmtesten Mathematiker sind eindeutig mit interdisziplinären Werkzeugen in ihrer Arbeit beschäftigt. Und für mich persönlich war es eine Art Level-up: plötzlich ist alles einfacher.

Spezialisiert auf ein Feld ist ähnlich wie Heben Gewichte mit nur Ihren rechten Arm, ignoriert den Kern, Rücken und Beine: es lässt Sie überraschend schwach und unfähig. Wenn du viele verschiedene Arten der Abstraktion beherrschen musst, wirst du bei der Abstraktion besser, im Allgemeinen sogar in deiner gewählten Spezialität. Das war für mich die große unerwartete Überraschung.

Für die mehr quantitative Frage hier gefragt: könnte ich "einen Test in Graduate Level XYZ Kurs?" Für ein 1-jähriges, 1. semesterkurs vielleicht vielleicht. Sortierung. Prüfungen neigen dazu, Fragen mit Phrasierung und Notation, die eng mit dem Klassen-Lehrbuch ausgerichtet sind, und diese Notation kann stark variieren von einem Lehrbuch zu einem anderen. Also dafür, dass Vorbereitung erforderlich wäre. Der Punkt ist, dass solche Vorbereitung wird einfacher.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Es sollte eine Menge Mathebücher in einer Universitätsbibliothek geben. Ich würde nie in der Lage sein, alle Titel zu lernen und sicherlich nicht alle Definitionen in all diesen Büchern. Und es ist einfach unmöglich, sich daran zu erinnern, dass viel Kontext. Aber ein professioneller Mathematiker ist wahrscheinlich in der Lage, den Kontext eines der Bücher zu verstehen, wenn er oder sie muss.

R K Sinha 08/07/2017.

Es gibt einen großen Mangel an Lehrbüchern auf Graduiertenebene in Mathematik geschrieben mit dem Ziel, das "wahre Thema" so schnell wie möglich zu unterrichten. "Smooth Manifolds von Sinha" ist ein solches Buch. Wenn viele Bücher dieser Art verfügbar sind, dann wäre das Stipendium in der Mathematik nicht lachen.


John Bentin 07/27/2017.

Sicherlich nicht. Zum Beispiel war der große Mathematiker Grothendieck unzureichend mit der Arithmetik vertraut, um die Ganzzahl $ 57 $ als Nicht-Prime zu erkennen. Die vielen Konten dieser Geschichte können durch eine Internet-Suche nach den Schlüsselbegriffen zugegriffen werden. Sag, suche grothendieck prime 57

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Das ist ein lächerliches Beispiel! Grothendieck dachte an Primzahlen im Allgemeinen. Er konnte sich einfach nicht mehr darum kümmern, ob oder nicht $ 57 $ eine Primzahl ist.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
Die Geschichte ist nicht gemacht: Grothendieck hat diesen dummen Fehler gemacht, in einem Austausch nach einem Vortrag, nachdem er von einem Mitglied des Publikums konkreter gestellt wurde. Das ändert natürlich nichts an der Tatsache, dass Grothendieck einer der tiefsten Arithmetiker des 20. Jahrhunderts war. Und in der Tat looks ein bisschen prime aus irgendeinem psychologischen Grund :-). Umgekehrt glauben viele Mathematiker, dass ich ihr Bein ziehe, wenn ich ihnen sage, dass $ 4999 $ prime ist!
1 Dair 07/27/2017
Ich glaube, Terrance Tao sagte auch, 27 sei auf dem Colbert-Bericht, oder so ähnlich: p (Nicht, dass er nicht gut mit Primzahlen vertraut ist, nur eine amüsante Anekdote) Aber die bessere Frage ist, wie weiß ich das? Und was mache ich mit meinem Leben?
1 quid 07/27/2017
"Aber Grothendieck muss gewusst haben, dass 57 nicht prima ist, richtig? Absolut nicht, sagte David Mumford von Brown University. "Er denkt nicht konkret." Weil er es gewiß in dem Sinne wusste, dass er die Frage beantwortet haben könnte "Ist 57 eine Primzahl?" Richtig, und das wird dort verschwommen.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Wenn man die ursprüngliche Frage beantwortet hat, was die leicht geschmacklose Annäherung an die unvermeidlichen Lücken in selbst das größte Wissen der Mathematiker zu sehen scheint, wäre ein besseres Beispiel als ein dummer arithmetischer Slip gewesen, als Grothendieck einen Kollegen um ein bestimmtes ganzes Integral bat, das er angetroffen hatte, Und war überrascht zu erzählen, dass es gewöhnlich die normale Verteilung genannt wurde.

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