Funktionen, die immer weniger sind als ihre Derivate

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Ich habe mich gefragt, ob es Funktionen gibt, für die $ f '(x)> f (x) $$ für alle $ x $ gilt. Nur Beispiele, an die ich denken konnte, waren $ e ^ x - c $ und einfach $ - c $, in denen $ c> 0 $ war. Gibt es auch eine Bedeutung in einer Funktion, die immer kleiner ist als ihre Ableitung?


Edit: Vielen Dank für alle Antworten. Es scheint, dass fast alle Funktionen exponentiell sind ... Gibt es mehr Beispiele wie - 1 / x?

Gibt es wieder Anwendungen / physische Manifestationen dieser Funktionen? [Zum Beispiel ist ein Objekt mit einer Geschwindigkeit, die immer größer ist als seine Position / Beschleunigung, immer größer als seine Geschwindigkeit]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Aus der Spitze meines Kopfes eine beliebige monoton zunehmende Funktion in der unteren Halbebene.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixions Antwort gibt die vollständige, allgemeinste Lösung (obwohl einige bestimmte Familien von Lösungen in schöneren Formen beschreibbar sein könnten) und sollte akzeptiert werden.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Aber fixiere den Titel und ändere "sein" in "ihr". So wie der Titel geschrieben ist, sah es für einen Moment so aus, als würdest du Ableitungen aller Befehle in Erwägung ziehen. Und jetzt bin ich neugierig auf diese Nebenfrage, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Wenn $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $ ist, können wir $ f (x) = y' (x) -y (x) $ definieren, was für alle positiv ist $ x $. Nehmen wir an, dass $ y '(x) $ eine stetige Funktion ist, so dass $ f (x) $ ebenfalls stetig ist. Mit diesem Element können wir nun die Differentialgleichung $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ aufbauen und ihre Lösungen sind gegeben durch: $$ y (x) = e ^ {x} \ links (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ rechts) $$

Gibt es wieder Anwendungen / physische Manifestationen dieser Funktionen? [Zum Beispiel ist ein Objekt mit einer Geschwindigkeit, die immer größer ist als seine Position / Beschleunigung, immer größer als seine Geschwindigkeit]

Ich weiß nicht, ob es eine Anwendung dieser interessanten Eigenschaft gibt, aber ich bin mir sicher, dass Sie die Geschwindigkeit nicht mit der Position vergleichen können, weil sie keine homogenen Größen sind.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Angenommen, $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Sie können also jede Funktion $ g $ mit $ g '(x)> 1 $ in diese Art von Funktion umwandeln, indem Sie das Exponential daraus nehmen:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ impliziert \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ impliziert \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Sie nehmen am Anfang $ f (x)> 0 $ an
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Dann könnte er einfach $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ als Ausgangspunkt für ein gegebenes $ f $ verwenden. So hat man immer $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Die Antwort von Ixion gibt die volle Verallgemeinerung, indem man zulässt, dass $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ irgendeine Funktion ist, die überall ist - positiv.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Nein, er nimmt die Kontinuität von $ f '(x) $ an.
Robin Saunders 07/29/2017
Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Bedingung nicht wirklich benötigt wird.

Peter 07/28/2017.

Ein einfaches Beispiel ist $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Ein interessanteres Problem ist es, eine Funktion $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $ zu finden, deren Bild $ \ mathbb {R} $ ist und $ f '(x)> f (x) $ erfüllt für alle $ x \ in \ mathbb {R} $. Eine dieser Funktionen ist

$$ \ sinh (x), $$

weil

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ für alle $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Nimm $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Dann haben wir für $ \ alpha> 1 $ $ f '(x)> f (x) $ und für $ \ alpha <1 $ haben wir $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Wie wäre es, wenn Sie es als Differentialgleichung betrachten? Sagen

$ y '= y + 1 $

was hat die Lösung $ y = Ce ^ x -1 $

Oder $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

was hat die Lösung $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Oder $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

mit der Lösung $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixions Antwort verallgemeinert dies auf $ y '(x) = y (x) + f (x) $ für jedes $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - soll ich meine Antwort löschen?
Robin Saunders 07/30/2017
Ich weiß nicht viel über Stack Exchange Etikette, aber meine Vermutung wäre, dass, da Sie Ihre Antwort zuerst gepostet haben und es spezifische Beispiele enthält, die nicht in der anderen Antwort sind, sollte es in Ordnung sein, es zu verlassen.

Eric Towers 07/30/2017.

Ein very einfaches Beispiel ist $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Relevant für Ihre Bearbeitung: Dies ist überhaupt nicht exponentiell.

Andere Beispiele, die nicht sofort exponentiell sind:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ ist überall negativ und überall streng monoton steigend, also ist es überall weniger als seine Ableitung.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ ist auch überall negativ und überall streng monoton steigend. (Diese sind sehr ähnlich, da sie Kopien der CDFs der (standardisierten / normalisierten) Cauchy- und Gaussian-Verteilungen sind.)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ ist der untere Zweig einer Hyperbel mit der $ x $ -Achse und der Zeile $ y = x $ as Asymptoten. Es ist überall negativ und überall streng monoton steigend.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Siehe, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Allgemeiner gesagt, jede negative Funktion mit positiver Ableitung ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Ein anderes einfaches Beispiel wäre $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Die Ungleichung $$ f '(x)> f (x) $$ entspricht $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0. $$

Also ist die allgemeine Lösung, jede differenzierbare Funktion $ g (x) $ mit $ g '(x)> 0 $ zu nehmen und $ f (x) = g (x) e ^ x $ zu setzen.

Beachten Sie, dass nichts über $ f $ angenommen wird, außer der Differenzierbarkeit, die notwendig ist, um die Frage überhaupt zu stellen.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Für jede Differentialfunktion $ f $, für die sowohl $ f (x) $ als auch $ f '(x) $ auf endliche Bereiche beschränkt sind, ist $ f' (x) - f (x) $ ebenfalls auf einen endlichen Bereich beschränkt. Also gibt es ein $ c $ für das $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Daher kann eine Funktion $ g (x) = f (x) - c $ gebildet werden, für die $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ oder $ g' (x )> g (x) \ \ forall \ x $.

Dies gilt beispielsweise für viele periodische Differentialfunktionen.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Die letzte Aussage ist falsch, da nicht jede differenzierbare periodische Funktion eine beschränkte Ableitung hat.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Du hast Recht. Ich habe periodische Funktionen betrachtet, die an jedem Punkt in $ \ mathbb {R} $ differenzierbar waren, aber ich stelle fest, dass eine Funktion an allen Punkten ihrer Domäne differenzierbar sein muss, um als differenzierbar angesehen zu werden. Ich habe meine Antwort aktualisiert.
Adayah 07/30/2017
Ich meine, eine Funktion $ f: \ mathbb {R} \ zu \ mathbb {R} $ kann in jedem Punkt $ a \ in \ mathbb {R} $ periodisch und differenzierbar sein und immer noch ungebundene Ableitung haben.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Hast du ein Beispiel für eine solche Funktion?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Ich meine, wenn eine Funktion $ f $ überall differenzierbar ist, muss ihre Ableitung $ f '$ überall existieren, und $ f' $ muss stetig sein (denn wenn sie eine Diskontinuität enthält, kann $ f '$ zu diesem Zeitpunkt nicht existieren ). Das macht es unmöglich, dass $ f $ unbegrenzt ist, oder?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike eine Antwort auf deine zusätzliche Frage "Gibt es physikalische Beispiele dafür?" wird von dromastyx ermöglicht.

Sein Beispiel zeigt hyperbolische Funktionen, die das physikalische Phänomen der "Solitonen" genau beschreiben.

Solitonen sind Solitärwellen wie Sonneneruptionen, Tsunamis usw. Ein Beispiel für das Finden solcher Wellen, die in bekannten Gleichungen verborgen sind, ist:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags