Limit eines Integrals finden: $ \ lim_ {n \ bis \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Angenommen, $ f: [a, b] \ zu \ mathbb {R} $ ist kontinuierlich. Stellen Sie fest, ob das folgende Limit existiert

$$ \ lim_ {n \ bis \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Da $ f (x) $ und $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ stetig sind, ist ihr Produkt Riemann integrierbar. Jedoch existiert $ \ lim_ {n \ zu \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ nicht, also ist es keine einheitliche Konvergenz und wir können die Grenze nicht innerhalb des Integrals überschreiten. Es erfüllt auch nicht die Bedingungen des Dini-Theorems. Ich weiß nicht, wie ich ein gültiges Argument für dieses Problem aufstellen soll, aber ich denke, durch das, was ich gesagt habe, existiert das Limit nicht. Ich schätze jede Hilfe.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue-Lemma . Beachte, dass $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Danke, ich denke, ich kann es jetzt vervollständigen
Teepeemm 07/31/2017
Das scheint fortgeschrittener zu sein, als das Problem erfordert.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Eine etwas andere Art, dies zu lösen, ist die folgende Beobachtung.

Proposition. Wenn $ f: [a, b] \ zu \ mathbb {R} $ stetig ist, dann ist $ g: \ mathbb {R} \ zu \ mathbb {R} $ fortlaufend und $ L $ -periodisch

$$ \ lim_ {n \ bis \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ links (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ rechts) \ links (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ rechts). $$

  1. Unter der Annahme dieser Aussage folgt die Antwort unmittelbar, da $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ $ 2 \ pi $ -periodisch ist und

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Die Intuition ist sehr klar: Wenn $ n $ sehr groß ist, dann haben wir das Subintervall $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ ungefähr f (c) \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} { n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    So hätten wir Details ignoriert

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ links (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left (a + \ frac {kL} {n} \ rechts) \ frac {1} {n} \ rechts) \ links (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ rechts) $$

    Nimmt man das Limit als $ n \ in \ infty $ an, konvergiert die rechte Seite zum gewünschten Wert. Das Ausfüllen der Details ist eine Routine.

  3. Die Annahme von Kontinuität ist nur eine technische Einstellung für einen einfachen Beweis, und Sie können sie in gewissem Maße durch mehr Aufwand entspannen.


Michael Hartley 07/31/2017.

Sie können nicht schließen, dass $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ nicht existiert, nur weil $ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ nicht. Beispiel: $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ existiert nicht, aber $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$, da das Integral für alle $ n $ gleich Null ist.

Ich fürchte, meine Nützlichkeit erschöpft sich an dieser Stelle, obwohl ich denke, dass die Grenze besteht: Sie sollten, wenn nichts anderes, in der Lage sein, ein Epsilon-Delta-Argument zu finden, das das Integral als Summe eines Bündels von Integralen in Längenintervallen ausdrückt $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Dies kann ein sehr schlechter Weg sein, um das Problem anzugehen.

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